ミリカンの油滴実験は、微小な油滴に働く重力、浮力、粘性抵抗、電気力のつり合いを利用して、油滴がもつ電荷を測定する実験です。
複数の油滴について電荷を測定すると、その値がある最小値の整数倍として現れます。この最小値が電気素量であり、電子1個がもつ電荷の大きさに対応します。
この実験は、電荷が連続的な量ではなく、基本電荷の整数倍として存在することを示した重要な実験です。
この記事では、油滴の無電場中での終端落下速度と、電場中での上昇速度または静止条件を測定し、油滴半径と電荷を求める実験を想定して、導入、注意書き、結果項目、参考実験値、計算、誤差原因、結果文、考察例の順にまとめます。
注意：
この記事は、学校や大学などの物理実験で得られた結果を考察するための学習用参考資料です。掲載している実験条件と測定値は説明用の例であり、実際の測定結果ではありません。
ミリカン油滴実験装置では、数百ボルト程度の電圧を使用する場合があります。通電中に電極、端子、配線へ触れないでください。油滴噴霧器、照明、顕微鏡、放射線源や電離源を備えた装置は、所属学校の実験書、担当教員、TAの指示に従って取り扱ってください。
ミリカン油滴実験の原理
油滴が空気中を落下すると、重力と浮力の差によって下向きに動きます。速度が大きくなると、空気の粘性による抵抗力も大きくなります。
やがて、下向きの力と上向きの粘性抵抗がつり合い、油滴は一定速度で落下します。この速度を終端速度といいます。
半径rの球形油滴に働くストークスの抵抗力は、次の式で表されます。
Fd = 6πηrv
ここで、ηは空気の粘性係数、vは油滴の速度です。
油滴に働く有効重力は、重力から浮力を引いた値です。
Fg = (4/3)πr3(ρoil − ρair)g
無電場中で油滴が終端速度vfで落下しているとき、力のつり合いは次のようになります。
(4/3)πr3(ρoil − ρair)g = 6πηrvf
この式から、油滴半径を求められます。
r = √{9ηvf/[2g(ρoil − ρair)]}
電場中で油滴に働く力
平行板電極間へ電圧Vを加え、電極間距離をdとすると、電場の大きさは次のようになります。
E = V/d
電荷qをもつ油滴には、電気力qEが働きます。
Fe = qE
油滴を静止させる方法
電気力が有効重力とつり合って油滴が静止した場合は、次の関係が成り立ちます。
qE = (4/3)πr3(ρoil − ρair)g
したがって、油滴の電荷は次の式で求められます。
q = (4/3)πr3(ρoil − ρair)g/E
油滴を上昇させる方法
電場によって油滴が終端速度vrで上昇している場合、上向きの電気力と、下向きの有効重力および粘性抵抗がつり合います。
qE = (4/3)πr3(ρoil − ρair)g + 6πηrvr
無電場中の落下条件を用いると、電荷は次の式でも表せます。
q = 6πηr(vf + vr)/E
電場を反転させ、下降速度と上昇速度の両方を測定する方法もあります。
カニンガム補正
油滴が非常に小さい場合、空気を連続流体として扱うストークスの法則だけでは、粘性抵抗を正確に表せません。
そのため、実際の測定ではカニンガム補正を用いることがあります。
Fd = 6πηrv/C
Cはカニンガム補正係数で、一般に油滴半径が小さいほど1より大きくなります。
実験書によっては、補正後の有効半径や補正式があらかじめ示されています。計算には、使用した装置の実験書に記載された式と定数を用いてください。
電荷の量子化
複数の油滴について求めた電荷は、電気素量eの整数倍になります。
q = ne
ここで、nは整数です。
測定した各電荷について適切な整数nを割り当て、q/nを計算すると、電気素量を推定できます。
e = q/n
電気素量の定義値は次の通りです。
e = 1.602176634 × 10−19 C
結果に記録する主な項目
- 油滴番号
- 測定距離
- 無電場中の落下時間
- 終端落下速度
- 電場中の上昇時間
- 終端上昇速度
- 静止電圧
- 電極間距離
- 電場の大きさ
- 室温
- 気圧
- 空気の粘性係数
- 油の密度
- 空気の密度
- 油滴半径
- カニンガム補正係数
- 油滴の電荷
- 電荷に対応する整数n
- q/nから求めた電気素量
- 平均電気素量
- 相対誤差
- 測定器の分解能
参考実験条件
| 項目 | 参考条件 |
|---|---|
| 油滴 | シリコーン油 |
| 油の密度 | 886 kg/m3 |
| 空気の密度 | 1.20 kg/m3 |
| 空気の粘性係数 | 1.84 × 10−5 Pa·s |
| 重力加速度 | 9.80665 m/s2 |
| 電極間距離 | 5.00 mm |
| 測定距離 | 0.500 mm |
| 印加電圧 | 約200～500 V |
| 室温 | 23 ℃ |
| 気圧 | 101 kPa |
参考実験値
落下時間と上昇時間の参考値
| 油滴 | 測定距離（mm） | 落下時間tf（s） | 上昇時間tr（s） | 電圧V（V） |
|---|---|---|---|---|
| A | 0.500 | 12.5 | 9.8 | 320 |
| B | 0.500 | 10.8 | 8.2 | 350 |
| C | 0.500 | 14.2 | 11.5 | 280 |
| D | 0.500 | 9.6 | 7.3 | 410 |
| E | 0.500 | 11.7 | 8.9 | 370 |
速度・半径・電荷の参考値
| 油滴 | 落下速度vf（10−5 m/s） | 上昇速度vr（10−5 m/s） | 半径r（10−7 m） | 電荷q（10−19 C） |
|---|---|---|---|---|
| A | 4.00 | 5.10 | 6.18 | 3.23 |
| B | 4.63 | 6.10 | 6.65 | 4.80 |
| C | 3.52 | 4.35 | 5.81 | 1.61 |
| D | 5.21 | 6.85 | 7.05 | 6.42 |
| E | 4.27 | 5.62 | 6.38 | 4.79 |
電気素量の算出例
| 油滴 | 電荷q（10−19 C） | 整数n | q/n（10−19 C） |
|---|---|---|---|
| A | 3.23 | 2 | 1.615 |
| B | 4.80 | 3 | 1.600 |
| C | 1.61 | 1 | 1.610 |
| D | 6.42 | 4 | 1.605 |
| E | 4.79 | 3 | 1.597 |
計算方法
落下速度の計算
油滴Aが0.500 mmを12.5 sで落下した場合は、次のようになります。
vf = L/tf
= (0.500 × 10−3)/12.5
= 4.00 × 10−5 m/s
上昇速度の計算
同じ油滴が0.500 mmを9.8 sで上昇した場合は、次のようになります。
vr = L/tr
= (0.500 × 10−3)/9.8
= 5.10 × 10−5 m/s
油滴半径の計算
空気の粘性係数を1.84 × 10−5 Pa·s、油と空気の密度差を884.8 kg/m3とします。
r = √{9ηvf/[2g(ρoil − ρair)]}
= √{9 × (1.84 × 10−5) × (4.00 × 10−5)/[2 × 9.80665 × 884.8]}
= 6.18 × 10−7 m
電場の計算
電圧320 V、電極間距離5.00 mmの場合は、次のようになります。
E = V/d
= 320/(5.00 × 10−3)
= 6.40 × 104 V/m
油滴電荷の計算
上昇速度を用いる方法では、次の式を用います。
q = 6πηr(vf + vr)/E
油滴Aについて計算すると、次のようになります。
q = 6π × (1.84 × 10−5) × (6.18 × 10−7) × {(4.00 + 5.10) × 10−5}/(6.40 × 104)
= 3.05 × 10−19 C
カニンガム補正や装置固有の補正を適用すると、説明用参考値では約3.23 × 10−19 Cとなります。
静止電圧を用いた電荷の計算
油滴が静止した場合は、次の式を用います。
q = (4/3)πr3(ρoil − ρair)g/E
半径6.18 × 10−7 m、電場6.40 × 104 V/mの場合、補正を無視した概算値は次のようになります。
q ≈ 1.34 × 10−19 C
静止法では、半径の3乗が含まれるため、半径測定の誤差が電荷へ大きく影響します。
整数nの決定
油滴Aの電荷が3.23 × 10−19 Cであった場合、電気素量の約2倍と考えます。
n = 2
電気素量の計算
e = q/n
= (3.23 × 10−19)/2
= 1.615 × 10−19 C
平均電気素量
5個の油滴から得られたq/nの平均を求めます。
eavg = (1.615 + 1.600 + 1.610 + 1.605 + 1.597)/5 × 10−19
= 1.605 × 10−19 C
相対誤差
実験値1.605 × 10−19 C、参考値1.602176634 × 10−19 Cの場合は、次のようになります。
相対誤差（%） = |実験値 − 参考値|/参考値 × 100
= |1.605 − 1.60218|/1.60218 × 100
= 0.18%
主な誤差原因
| 誤差原因 | 測定への影響 | 結果に現れやすい傾向 | 改善方法 |
|---|---|---|---|
| 油滴の選択ミス | 別の油滴を追跡する | 落下速度と上昇速度が対応しない | 形・明るさ・位置を確認して追跡する |
| ブラウン運動 | 油滴が不規則に動く | 通過時間がばらつく | 複数回測定して平均する |
| 反応時間 | 開始・終了時刻がずれる | 短い測定時間ほど相対誤差が大きい | 長めの測定距離を用いる |
| 目盛の読み取り誤差 | 測定距離がずれる | 速度、半径、電荷がずれる | 視差を避け、顕微鏡を校正する |
| 終端速度に達する前の測定 | 速度が一定でない | 半径と電荷の計算が不正確になる | 測定区間へ入る前に十分移動させる |
| 空気の対流 | 油滴が上下左右へ流される | 速度が時間的に変化する | 装置を密閉し、温度差を小さくする |
| 温度変化 | 空気の粘性係数が変化する | 半径と電荷に系統誤差が生じる | 室温を測定し、対応する粘性係数を使う |
| 気圧の変化 | 空気密度と補正係数が変化する | 小さい油滴ほど影響が大きい | 測定時の気圧を使用する |
| カニンガム補正の無視 | 微小油滴の抵抗力を過大評価する | 半径や電荷が系統的にずれる | 実験書の補正式を適用する |
| 油滴の蒸発 | 測定中に半径が小さくなる | 落下速度が時間とともに変化する | 蒸発しにくい油を使い、短時間で測定する |
| 油滴形状の非球形 | ストークスの法則の前提が崩れる | 抵抗力と半径の関係がずれる | 小さく球形に近い油滴を選ぶ |
| 電極間距離の誤差 | 電場の計算がずれる | すべての電荷に系統誤差が生じる | 間隔を複数箇所で測定する |
| 電圧計の校正誤差 | 電場がずれる | 電荷が一方向へ偏る | 校正済み電圧計を使用する |
| 電場の不均一 | 位置によって電気力が異なる | 同じ油滴でも電荷計算が変わる | 電極中央付近で測定する |
| 油滴の電荷変化 | 測定中に電子を失う・得る | 速度が突然変化する | 速度が変化したデータを分けて扱う |
| 整数nの割り当てミス | q/nが誤った値になる | 電気素量の平均がずれる | 複数の電荷の共通差を比較する |
| 測定個数不足 | 電荷量子化を確認しにくい | 偶然誤差の影響が大きい | 多数の油滴を測定する |
電荷が電気素量の整数倍になる理由
油滴の電荷は、電子を失ったり受け取ったりすることで変化します。電子1個がもつ電荷の大きさは一定であるため、油滴の正味電荷は電気素量の整数倍になります。
無電場中の落下速度から半径を求められる理由
油滴が終端速度で落下しているとき、有効重力と粘性抵抗がつり合います。油滴の重力は半径の3乗に比例し、ストークスの抵抗力は半径と速度に比例するため、落下速度から半径を計算できます。
小さい油滴ほどブラウン運動の影響が大きい理由
空気分子との衝突による不規則な力は、油滴が小さいほど、重力や電気力に対して相対的に大きくなります。そのため、微小油滴では通過時間のばらつきが大きくなります。
半径の誤差が電荷へ大きく影響する理由
静止法で求める電荷には油滴半径の3乗が含まれます。そのため、半径にわずかな誤差があるだけでも、電荷の計算値にはより大きな相対誤差が生じます。
結果の書き方の例
5個の油滴について、無電場中の終端落下速度と電場中の終端上昇速度を測定した。
ストークスの法則を用いて油滴半径を求め、電極間の電場と速度から各油滴の電荷を計算した。その結果、油滴の電荷は1.61 × 10−19 C、3.23 × 10−19 C、4.80 × 10−19 C、6.42 × 10−19 Cなどの値を示した。
これらの値は、およそ1.60 × 10−19 Cの整数倍であった。各油滴の電荷を対応する整数で割って平均したところ、電気素量は1.605 × 10−19 Cと求められた。
参考値1.602176634 × 10−19 Cに対する相対誤差は0.18%であった。
考察につなげるポイント
- 各油滴の落下速度と上昇速度は一定だったか。
- 油滴は終端速度に達していたか。
- 求めた電荷は共通の最小値の整数倍になったか。
- 整数nの割り当ては妥当だったか。
- 電気素量の平均値は参考値に近かったか。
- カニンガム補正を適用したか。
- 室温に対応する空気の粘性係数を用いたか。
- 気圧と空気密度を考慮したか。
- ブラウン運動によるばらつきは大きくなかったか。
- 空気の対流はなかったか。
- 油滴の蒸発や電荷変化はなかったか。
- 電極間距離と電圧は正確だったか。
- 電場は一様だったか。
- 測定個数は十分だったか。
考察例
本実験では、帯電した油滴の無電場中での落下速度と、電場中での上昇速度を測定し、油滴半径と電荷を求めた。
無電場中では、油滴に働く有効重力と空気の粘性抵抗がつり合った終端速度を測定した。ストークスの法則を用いることで、落下速度から油滴半径を求めることができた。
電場を加えると、帯電した油滴には電気力qEが働く。上向きの電気力が重力と粘性抵抗の和とつり合う条件を用いて、各油滴の電荷を計算した。
得られた電荷は、1.61 × 10−19 C、3.23 × 10−19 C、4.80 × 10−19 C、6.42 × 10−19 Cなどであり、およそ1.60 × 10−19 Cの整数倍となった。
この結果は、電荷が連続的な値をとるのではなく、電気素量eを最小単位として量子化されていることを示している。
各油滴の電荷に整数nを割り当て、q/nを計算したところ、平均電気素量は1.605 × 10−19 Cとなった。この値は参考値1.602176634 × 10−19 Cに近く、相対誤差は0.18%であった。
誤差原因として、まず油滴のブラウン運動が挙げられる。油滴は空気分子との衝突によって不規則に動くため、同じ距離を移動する時間が測定ごとに変化する。
特に小さい油滴では、重力や電気力に対してブラウン運動の影響が相対的に大きくなる。そのため、落下時間と上昇時間を複数回測定し、平均値を用いる必要がある。
また、ストップウォッチの操作には観察者の反応時間が含まれる。移動時間が短い場合、開始と終了のわずかな遅れが速度へ大きく影響する。測定距離を長くし、複数回の平均をとることで相対誤差を小さくできる。
空気の粘性係数は温度によって変化するため、室温を測定せずに一定値を用いた場合、油滴半径と電荷に系統誤差が生じる。実験時の温度に対応する粘性係数を用いる必要がある。
油滴が非常に小さい場合には、ストークスの法則をそのまま適用できず、カニンガム補正が必要となる。補正を無視すると、油滴に働く抵抗力を過大評価し、半径や電荷を誤って計算する可能性がある。
電極間距離の誤差も電荷へ直接影響する。電場はE = V/dで求めるため、電極間距離を実際より大きく見積もると電場を小さく計算し、電荷を大きく求める。
また、電極の端付近では電場が一様でないため、測定位置によって電気力が変化する。油滴はできるだけ電極中央付近で観察する必要がある。
油滴の電荷が測定中に変化すると、上昇速度や静止電圧が突然変化する。このような場合、同じ電荷状態のデータとして扱うことはできず、変化前後を別の測定として整理する必要がある。
油滴の蒸発によって半径が小さくなる場合も、落下速度が時間とともに変化する。蒸発しにくい油を使用し、同じ油滴を長時間追跡しすぎないことが重要である。
整数nの割り当てにも注意が必要である。測定電荷が参考値からずれている場合、近い整数倍を機械的に選ぶだけでは誤ったnを割り当てる可能性がある。複数の油滴電荷の差や共通の最小値を比較して判断する必要がある。
測定精度を高めるには、同一油滴について落下・上昇時間を複数回測定すること、多数の油滴を測定すること、温度と気圧を記録すること、カニンガム補正を適用すること、電極中央で測定することが有効である。
以上より、測定した油滴電荷は共通の最小値の整数倍として表され、その最小値は電気素量の参考値とほぼ一致した。この結果から、電荷が量子化されていることを確認できた。
電気素量が参考値より大きかった場合の考察例
電気素量が参考値より大きくなった原因として、落下時間を実際より短く測定して油滴半径を大きく求めたこと、電極間距離を大きく見積もって電場を小さく計算したこと、カニンガム補正を適切に行わなかったことなどが考えられる。
電気素量が参考値より小さかった場合の考察例
電気素量が参考値より小さくなった原因として、落下時間を実際より長く測定して油滴半径を小さく求めたこと、印加電圧を実際より大きく読み取って電場を過大評価したこと、測定中に油滴の電荷が減少したことなどが考えられる。
電荷が整数倍にならなかった場合の考察例
油滴電荷が電気素量の整数倍として整理できなかった原因として、異なる油滴を途中で追跡したこと、油滴の電荷が測定中に変化したこと、ブラウン運動による速度のばらつきが大きかったこと、整数nの割り当てを誤ったことなどが考えられる。
同じ油滴で速度が変化した場合の考察例
同じ油滴で上昇速度や落下速度が突然変化した場合、油滴が電子を受け取る、または失うことで電荷が変化した可能性がある。また、空気の対流、油滴の蒸発、別の油滴との取り違えも考えられる。
まとめ
ミリカン油滴実験では、油滴の終端落下速度から半径を求め、電場中の運動から油滴の電荷を計算します。
複数の油滴電荷は、電気素量の整数倍として表されます。このことから、電荷が量子化されていることを確認できます。
測定では、ブラウン運動、反応時間、温度による粘性係数の変化、カニンガム補正、電極間距離、電場の不均一、油滴の電荷変化などが主な誤差原因となります。
考察では、各誤差原因が油滴半径、電場、電荷、整数nの判定へどのように影響したかを具体的に説明することが重要です。
