凸レンズ・凹レンズの実験は、レンズを通過した光の進み方と、できる像の位置・向き・大きさを観察し、それぞれのレンズの性質や焦点距離を調べる物理実験です。
凸レンズは平行光線を集める収束レンズであり、物体の位置によって実像または虚像をつくります。一方、凹レンズは平行光線を広げる発散レンズであり、実物体に対しては原則として正立・縮小の虚像をつくります。
凸レンズによる実像はスクリーン上に映せますが、凹レンズによる虚像はスクリーンへ直接映せません。そのため、凹レンズの焦点距離を測定するときは、補助凸レンズと組み合わせて実像をつくり、合成レンズの関係から求める方法などが用いられます。
この記事では、凸レンズによる実像と虚像の観察、凹レンズによる虚像の観察、さらに凸レンズと凹レンズを組み合わせた焦点距離測定を想定し、結果項目、参考実験値、計算、誤差原因、結果文、考察例をまとめます。
注意：
この記事は、大学などの物理実験で得られた結果を考察するための学習用参考資料です。掲載している実験値は説明用の例であり、実際の測定結果ではありません。
光源、凸レンズ、凹レンズ、スクリーン、光学台などの操作と安全上の注意については、必ず所属大学の実験書、担当教員、TAの指示に従ってください。強い光源やレーザー光を直接目で見ないでください。
凸レンズと凹レンズの基本
凸レンズ
凸レンズは中央が厚く、周辺が薄いレンズです。光軸に平行な光線は、レンズを通過した後に焦点へ集まります。
物体を焦点より外側に置くと、レンズの反対側に倒立した実像ができます。物体を焦点より内側に置くと、物体と同じ側に正立・拡大の虚像ができます。
凹レンズ
凹レンズは中央が薄く、周辺が厚いレンズです。光軸に平行な光線は、レンズを通過した後に広がります。
広がった光線を逆向きに延長すると、レンズの物体側にある焦点から出たように見えます。実物体に対しては、物体と同じ側に正立・縮小の虚像ができます。
薄レンズの式
焦点距離を f、物体距離を u、像距離を v とすると、薄レンズの式は次のように表されます。
1/f = 1/u + 1/v
実像を正、虚像を負とする符号規約では、凸レンズの焦点距離は正、凹レンズの焦点距離は負になります。
倍率
m = −v/u
倍率が負の場合は倒立像、正の場合は正立像です。倍率の絶対値が1より大きければ拡大像、1より小さければ縮小像です。
接触させた2枚の薄レンズ
焦点距離 f1 と f2 の2枚の薄レンズを接触させたとき、合成焦点距離を F とすると、次の関係が成り立ちます。
1/F = 1/f1 + 1/f2
既知の凸レンズと未知の凹レンズを組み合わせ、合成焦点距離を測定すれば、凹レンズの焦点距離を求められます。
結果に記録する主な項目
- 使用した凸レンズと凹レンズの種類
- 各レンズの公称焦点距離
- 物体、レンズ、スクリーンの位置
- 物体距離と像距離
- 像の向き
- 像が実像か虚像か
- 像の大きさ
- 物体の高さと像の高さ
- 距離から求めた倍率
- 高さから求めた倍率
- 凸レンズ単独の焦点距離
- 凸レンズと凹レンズを組み合わせた合成焦点距離
- 計算で求めた凹レンズの焦点距離
- 複数回測定した平均値
- 公称値との相対誤差
- 像の鮮明さ
- 光軸のずれやレンズ間隔
凹レンズの虚像はスクリーンへ直接映せないため、像の位置を求める方法と符号規約を実験書で確認しておく必要があります。
参考実験条件
| 項目 | 参考条件 |
|---|---|
| 凸レンズの公称焦点距離 | +100 mm |
| 凹レンズの公称焦点距離 | −200 mm |
| 測定装置 | 光学台 |
| 物体 | 照明された矢印 |
| 物体の高さ | 20.0 mm |
| スクリーン | 白色スクリーン |
| 距離の最小目盛 | 1 mm |
| 凹レンズの測定法 | 補助凸レンズとの接触合成法 |
参考実験値
凸レンズによる実像
| 物体距離 u（mm） | 像距離 v（mm） | 焦点距離 f（mm） | 倍率 m | 像の性質 |
|---|---|---|---|---|
| 150 | 301 | 100.1 | −2.01 | 倒立・拡大・実像 |
| 200 | 201 | 100.2 | −1.01 | 倒立・ほぼ等倍・実像 |
| 300 | 150 | 100.0 | −0.500 | 倒立・縮小・実像 |
凸レンズによる虚像
焦点距離+100 mmの凸レンズに対し、物体距離を80.0 mmとした参考例です。
| 物体距離 u（mm） | 像距離 v（mm） | 倍率 m | 像の性質 |
|---|---|---|---|
| 80.0 | −400 | +5.00 | 正立・拡大・虚像 |
凹レンズによる虚像
焦点距離−200 mmの凹レンズに対し、物体距離を300 mmとした参考例です。
| 物体距離 u（mm） | 像距離 v（mm） | 倍率 m | 像の性質 |
|---|---|---|---|
| 300 | −120 | +0.400 | 正立・縮小・虚像 |
合成レンズによる凹レンズの焦点距離測定
| 測定 | 凸レンズ焦点距離 f1（mm） | 合成焦点距離 F（mm） | 凹レンズ焦点距離 f2（mm） |
|---|---|---|---|
| 1 | 100.1 | 201 | −199 |
| 2 | 100.1 | 199 | −202 |
| 3 | 100.1 | 200 | −200 |
合成焦点距離が凸レンズ単独の焦点距離より長くなっていることから、凹レンズが凸レンズの収束作用を弱めたことが分かります。
計算方法
凸レンズの焦点距離
物体距離200 mm、像距離201 mmの場合は、次のようになります。
f = uv / (u + v)
= 200 × 201 / (200 + 201)
= 100.2 mm
凸レンズの実像の倍率
m = −v/u
= −201/200
= −1.01
倍率が負で絶対値が約1であるため、像は倒立で物体とほぼ同じ大きさです。
凸レンズによる虚像
焦点距離+100 mm、物体距離80.0 mmの場合は、次のようになります。
1/v = 1/f − 1/u
= 1/100 − 1/80.0
= −0.00250 mm−1
v = −400 mm
m = −v/u = −(−400)/80.0 = +5.00
像距離が負、倍率が正で1より大きいため、正立・拡大の虚像となります。
凹レンズによる虚像
焦点距離−200 mm、物体距離300 mmの場合は、次のようになります。
1/v = 1/f − 1/u
= 1/(−200) − 1/300
= −0.00833 mm−1
v = −120 mm
m = −v/u = −(−120)/300 = +0.400
像距離が負、倍率が正で1より小さいため、正立・縮小の虚像となります。
合成焦点距離から凹レンズの焦点距離を求める
凸レンズの焦点距離が+100.1 mm、合成焦点距離が+200 mmの場合は、次のようになります。
1/f2 = 1/F − 1/f1
= 1/200 − 1/100.1
= −0.00499 mm−1
f2 = −200 mm
凹レンズ焦点距離の平均
平均焦点距離 = (−199 − 202 − 200) / 3
= −200.3 mm
相対誤差
公称値が−200 mm、実験値が−200.3 mmの場合、絶対値を用いて相対誤差を求めます。
相対誤差（%） = ||実験値| − |公称値|| / |公称値| × 100
= |200.3 − 200| / 200 × 100
= 0.15%
主な誤差原因
| 誤差原因 | 測定への影響 | 結果に現れやすい傾向 | 改善方法 |
|---|---|---|---|
| ピント位置の判定誤差 | 像距離を一点に決めにくい | 焦点距離が測定ごとにばらつく | スクリーンを両方向から動かして平均を取る |
| レンズ中心の位置が不明確 | 物体距離と像距離の基準がずれる | 焦点距離に系統誤差が生じる | 支持枠の基準線または指定された主点を使う |
| 凸レンズと凹レンズの間隔 | 接触レンズの式が正確に成り立たない | 凹レンズの焦点距離が系統的にずれる | レンズ間隔を小さくし、必要なら間隔を含む式を使う |
| 光軸のずれ | 像がぼけたり横へずれたりする | 最適な像位置を判断しにくい | 物体、レンズ、スクリーンの中心をそろえる |
| レンズの傾き | 像面がスクリーンと一致しない | 像の一部だけが鮮明になる | レンズ面を光軸に垂直にする |
| 虚像位置の判定誤差 | 凹レンズ単独の像位置を直接測れない | 倍率や焦点距離の誤差が大きくなる | 補助レンズ法や視差法を用いる |
| 球面収差 | すべての光線が同一点へ集まらない | 像が完全には鮮明にならない | 絞りを使って中心付近の光を通す |
| 色収差 | 波長によって焦点位置が異なる | 像の縁に色づきが生じる | 単色光または色消しレンズを使う |
| 目盛の読み取り誤差 | 各位置の測定値がずれる | ランダムなばらつきが生じる | 視差を避け、目線を目盛へ垂直にする |
| 薄レンズ近似の限界 | 実際の主点とレンズ中心が一致しない | 厚いレンズで理論値との差が大きくなる | 必要に応じて厚レンズの主点を考慮する |
凸レンズで実像と虚像の両方ができる理由
物体が焦点より外側にある場合、レンズを通過した光線は実際に一点へ集まるため、倒立した実像ができます。
物体が焦点より内側にある場合、レンズ通過後の光線は広がります。しかし、その光線を逆向きに延長すると物体側の一点から出たように見えるため、正立・拡大の虚像ができます。
凹レンズの像が正立・縮小になる理由
凹レンズを通過した光線は広がります。その光線を逆向きに延長すると、レンズと焦点の間にある一点から出たように見えます。
この虚像は常に物体よりレンズに近く、光線の広がり方から像の高さも物体より小さくなるため、正立・縮小となります。
凹レンズを入れると合成焦点距離が長くなる理由
凸レンズは光を集めますが、凹レンズは光を広げます。両者を組み合わせると、凹レンズが凸レンズの収束作用を一部打ち消します。
そのため、合成レンズが光を集める力は凸レンズ単独より弱くなり、焦点までの距離は長くなります。
レンズ間隔があると単純な合成式からずれる理由
接触レンズの式は、2枚のレンズ間隔を無視できることを前提としています。実際にレンズ間に距離があると、1枚目のレンズで変化した光束が空間を進んでから2枚目へ入射します。
このため、合成屈折力にはレンズ間隔の影響が加わり、単純な逆数和では正確に表せなくなります。
結果の書き方の例
凸レンズと凹レンズを用いて、物体距離と像距離、像の向き、大きさ、および焦点距離を測定した。
焦点距離約+100 mmの凸レンズでは、物体を焦点より外側に置くと倒立した実像がスクリーン上に得られた。物体距離150、200、300 mmに対する像距離は、それぞれ301、201、150 mmであった。
物体を焦点より内側の80.0 mmに置いた場合は、像距離−400 mm、倍率+5.00となり、正立・拡大の虚像が得られた。
凹レンズでは、物体距離300 mmに対して像距離−120 mm、倍率+0.400となり、正立・縮小の虚像が得られた。
既知の凸レンズと凹レンズを組み合わせて求めた凹レンズの平均焦点距離は−200.3 mmであり、公称値−200 mmに対する相対誤差は0.15%であった。
考察につなげるポイント
- 凸レンズでは物体位置によって像の性質がどう変化したか。
- 物体が2f、fと2fの間、焦点内にある場合を比較できるか。
- 凹レンズの像が正立・縮小・虚像となった理由は何か。
- 薄レンズの式と測定結果は一致したか。
- 距離による倍率と高さによる倍率は一致したか。
- 凹レンズを加えると合成焦点距離はどう変化したか。
- 凹レンズの焦点距離の符号を正しく扱ったか。
- レンズ間隔を無視できる配置であったか。
- ピント位置や虚像位置をどのように決定したか。
- 光軸のずれ、収差、レンズの厚さは結果へ影響しなかったか。
考察例
本実験では、凸レンズと凹レンズによって生じる像の性質を観察し、物体距離と像距離から焦点距離および倍率を求めた。
凸レンズでは、物体を焦点より外側に置くと倒立した実像が生じた。物体距離が150 mmのときは倍率−2.01の拡大像、200 mmのときは倍率−1.01のほぼ等倍像、300 mmのときは倍率−0.500の縮小像となった。
焦点距離が約100 mmであるため、物体距離200 mmの条件は物体が約2fの位置にある場合に相当する。このとき像距離も約2fとなり、物体と像の大きさがほぼ等しくなったことは、薄レンズの理論と一致する。
物体を焦点より内側の80.0 mmに置いた場合、像距離は−400 mm、倍率は+5.00となった。像距離が負であることから像は物体と同じ側にある虚像であり、倍率が正で1より大きいことから正立・拡大像であると判断できた。
一方、凹レンズでは物体距離300 mmに対して像距離−120 mm、倍率+0.400となった。したがって、像は物体と同じ側にできる正立・縮小の虚像であった。
凹レンズを通過した光線は広がるため、スクリーン上に直接実像をつくることはできない。しかし、広がった光線を逆向きに延長すると、レンズと焦点の間の一点から出たように見える。このため、凹レンズでは正立・縮小の虚像が生じる。
凹レンズの焦点距離は、焦点距離が既知の凸レンズと組み合わせて合成焦点距離を測定し、接触レンズの式から求めた。得られた平均焦点距離は−200.3 mmであり、公称値−200 mmとよく一致した。
凸レンズ単独の焦点距離が約100 mmであるのに対し、凹レンズを組み合わせた合成焦点距離は約200 mmとなった。これは、凹レンズの発散作用が凸レンズの収束作用を弱め、合成レンズの屈折力が小さくなったためである。
実験値に誤差が生じた原因として、スクリーン上で最も鮮明な像位置を決める際の判断誤差、レンズ中心位置の読み取り誤差、光軸のずれ、球面収差、色収差などが考えられる。
特に合成レンズ法では、凸レンズと凹レンズの間隔を無視して接触レンズの式を使用している。実際にレンズ間隔が存在すると、単純な逆数和からずれ、凹レンズの焦点距離に系統誤差が生じる可能性がある。
測定精度を高めるには、2枚のレンズをできるだけ近づけ、レンズ中心を同じ光軸上にそろえる必要がある。また、複数回測定して平均値を求め、スクリーンを前後両方向から動かしてピント位置を決定することが有効である。
以上より、凸レンズは物体位置によって実像と虚像の両方をつくるのに対し、凹レンズは実物体に対して正立・縮小の虚像をつくることを確認できた。また、凹レンズは凸レンズの収束作用を弱め、合成焦点距離を長くすることが分かった。
凹レンズの焦点距離の絶対値が公称値より大きかった場合
凹レンズの焦点距離の絶対値が公称値より大きくなった原因として、合成焦点距離を実際より大きく測定した可能性が考えられる。また、凸レンズと凹レンズの間隔を無視して接触レンズの式を用いたことや、レンズの主点位置と支持枠の基準位置が一致していなかったことも影響した可能性がある。
凹レンズの虚像が観察しにくかった場合
凹レンズによる虚像が観察しにくかった原因として、虚像はスクリーンへ直接映らず、レンズを通して目で観察する必要があることが挙げられる。また、物体、レンズ、観察者の目が光軸上に並んでいなかった場合や、周囲の光が明るすぎた場合にも像の位置と大きさを判断しにくくなる。
まとめ
凸レンズは光を集め、物体の位置によって倒立した実像または正立・拡大の虚像をつくります。凹レンズは光を広げ、実物体に対して正立・縮小の虚像をつくります。
薄レンズの式と倍率の式を用いることで、像の位置、向き、大きさを説明できます。また、既知の凸レンズと凹レンズを組み合わせた合成焦点距離から、凹レンズの負の焦点距離を求められます。
考察では、像の実虚、正立・倒立、拡大・縮小、焦点距離の符号、レンズ間隔、光軸、収差、ピント位置などを関連づけて説明することが重要です。
